Exercise:
Bohrt man in Zürich einen Tunnel radial zur Erdoberfläche bis auf die andere Seite so gelangt man zu einem Punkt im Pazifischen Ozean Kilometer südöstlich von der Stadt Waitangi auf Neuseeland. Für diese berühmte akademische Aufgabe wird angenommen dass die Dichte der Erdkugel konstant sei. abclist abc Zeige dass ein in den Tunnel fallen gelassenes Objekt harmonisch mit der Kreisfrequenz al omega_ sqrtfracGMR^ schwingt wenn man die Dämpfung komplett vernachlässigt. Dabei sind G die Gravitationskonstante M die Erdmasse und R der Erdradius. hfill nprvminipagec.textwidth Berücksichtige dass immer nur der Massenanteil der Erde der sich innerhalb der durch die momentane Position definierte Kugel befindet Gravitations-Kraft auf das Objekt ausübt rot in Skizze. nprvminipage minipagec.textwidth center tikzpicture filldrawcolorblue fillblue!!white circle cm; filldrawcolorred fillred!!white circle cm; filldrawcolorblack fillwhite opacity. -.- rectangle .; filldrawcolorblack fillyellow circle .cm tikzpicture center nprvminipage abc Wie viele Minuten dauert die Reise von Zürich zu diesem Punkt im Pazifischen Ozean? hfill rookB abclist Wir nehmen nun an dass im Tunnel eine zur Momentangeschwindigkeit v proportionale dämpfe Kraft der Form sscFR -b v wirkt. abclist setcounterabc setcounterenumii abc Stelle die Differentialgleichung auf die die Bewegung des Objektes beschreibt und klassifiziere sie möglichst genau. hfill abc Auf welchem Prinzip aus der Mechanik basieren Bewegungsgleichungen dieser Art? Erläutere dieses Prinzip kurz. phantom. hfill abc Berechne den Proportionalitätsfaktor b wenn bekannt ist dass ein in den Tunnel faller Körper mit mO Masse nach tO nur noch etO der Entfernung vom Erdmittelpunkt Ruhelage im Vergleich zum ungedämpften Fall hat. hfill rookB abc Wie gross ist die Schwingungsdauer des gedämpften Systems? hfill rookB abc Skizziere -- ohne zu rechnen -- die Position y bezüglich des Erdmittelpunktes in Abhängigkeit der Zeit. hfill abc Wie gross müsste formal die Proportionalitätskonstante b sein damit man gerade bis zum Erdmittelpunkt komplett abgebremst würde? Gib den Fachbegriff für diesen Fall an. hfill abclist center tikzpicture tkzInitxmin xmax ymin- ymax tkzGridsub subystep. subxstep. tkzDrawXright labeldfractsimin tkzDrawYabove labely tkzTextbelow.small tkzTextbelowsmallnumround-modefigures round-precisionTmX tkzTextbelowsmallnumround-modefigures round-precisionfpeval*TmX tkzTextleftsmallR tkzTextleft-small-R tkzTextleftsmallfracR tkzTextleft-small-fracR tkzTextleftsmallfracR tkzTextleft-small-fracR tkzTextleftsmallfracR tkzTextleft-small-fracR tkzTextleftsmall %tkzFctvery thick darkgreen domain:*exp-.*x %tkzDefPoByFct tkzTextabove right darkgreentkzPoResultsmallhat y_ e^-delta t %tkzTextleft darkred.-.smallhat y_ e^-delta t cosomega t %tkzFctvery thick darkgreen-*exp-.*x %tkzDefPoByFct tkzTextbelow right darkgreentkzPoResultsmall-hat y_ e^-delta t %tkzFctvery thick darkred domain:*exp-.*x*cosdeg.*x tikzpicture center

Solution:
abclist abc Die rücktreibe Kraft ist die Gravitationskraft al sscFres -fracGMy my^ -fracG rho Vy my^ -fracG rho fracpi y^ my^ m a -fracG fracMV fracpi y^ my^ a -fracGM frac pi y^fracpi R^ y^ -underbracefracGMR^_omega_^ y abc al tau fracT taF pi sqrtfracqtyrEar^ncG MEar ta approx tmP abc homogene lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten al m ddot y -b dot y -momega_^ y abc Aktionsprinzip zweites Gesetz von Newton: Die resultiere Kraft auf einen Körper ist proportional zu seiner Beschleunigung mit der Masse als Proportionalitätskonstante. abc al hat yt hat y e^-delta t eta e^-delta t lneta -delta t delta -fract lneta b mdelta bF -fracmt lnet b approx bS abc al omega sqrtomega_^ - delta^ WF sqrtfracncG MEarqtyrEar^ - fracqtyt^ lnet W T fracpiomega fracpiW T approx TmP abc phantom. SolQtyD-/.*lnetX center tikzpicture tkzInitxmin xmax ymin- ymax tkzGridsub subystep. subxstep. tkzDrawXright labeldfractsimin tkzDrawYabove labely tkzTextbelow.small tkzTextbelowsmallnumround-modefigures round-precisionTmX tkzTextbelowsmallnumround-modefigures round-precisionfpeval*TmX tkzTextleftsmallR tkzTextleft-small-R tkzTextleftsmallfracR tkzTextleft-small-fracR tkzTextleftsmallfracR tkzTextleft-small-fracR tkzTextleftsmallfracR tkzTextleft-small-fracR tkzTextleftsmall tkzFctvery thick darkgreen domain:*exp-DX*x %tkzDefPoByFct tkzTextabove right darkgreentkzPoResultsmallhat y_ e^-delta t %tkzTextleft darkred.-.smallhat y_ e^-delta t cosomega t tkzFctvery thick darkgreen domain:-*exp-DX*x %tkzDefPoByFct tkzTextbelow right darkgreentkzPoResultsmall-hat y_ e^-delta t tkzFctvery thick darkred domain:*exp-DX*x*cosdeg.*x %tkzFctvery thick darkred domain:*exp-.*x*cosdeg.*x tikzpicture center abc Aperiodischer Grenzfall delta omega_ abclist % Korrekturhinweise abclist abc pro Zeile . Punkte abc Punkt für halbe und nicht volle Periodauer Punkte für Schlussformel Einsetzen und Ergebnis abc Punkt für korrekte DGL; . Punkte Abzug pro nicht vorhandener Teil in Klassifizierung abc Punkt für Name Punkt für Erläuterung abc ab . Zeile pro Zeile Punkt abc . Zeile Punkte; Punkte für Einsetzen Ergebnis und Schlussfolgerung auf Periodauer Abmachung aus Unterricht: Periodauer muss nicht zwing extra formalisiert werden abc Punkt für korrekte Einhülle; Punkt für korrekte Periodauer; Punkt für sinusförmiger Verlauf abc Punkt für Fachbegriff; Punkt für Formel abc abclist