Überabzählbarkeit von R
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Zeigen sie dass mathbbR überabzählbar ist.
Solution:
Beweis. Am besten beweist man diese Identität indem man die Teilmenge subseteq mathbbR verwet denn wenn schon diese Teilmenge von mathbbR überabzählbar ist so muss es auch mathbbR selbst sein. Um das Ganze etwas anschaulicher zu gestalten kann man sich das ganze als eine Art Spiel vorstellen. Demnach hat man zwei Spieler mathcalAB wobei mathcalB der Meinung ist dass mathbbR abzählbar ist. Das Ziel dieses Spielers ist es demnach alle Elemente von subseteq mathbbR aufzuzählen. Im Gegenzug darf Spieler mathcalA nach jedem Zug von mathcalB das Intervall verkleinern. Sei also n in mathbbN mapsto x_n in eine beliebige Funktion welche die Züge von Spieler mathcalB beschreibt. Im Folgen wird die Strategie von Spieler mathcalA wie man am besten rekursiv Intervalle I_n a_nb_n definiert so dass das gewählte x_n notin I_n gilt. Für n gilt: I_ a_nb_n cases leftfracrightquad textfalls x_ in left fracright leftfracrightquadtextfalls x_ in frac. cases So kann man sicher stellen dass x_ nicht in I_ liegt. Anschaulicher: Falls x_ in rechter Hälfte ist nimmt man Intervall des unteren Drittels liegt x_ in linker Hälfte nimmt man umgekehrt Intervall des oberen Drittels. Angenommen Spieler mathcalA hat nun schon die Intervalle bis n so definiert und Spieler mathcalB macht nun den n+ Zug. Dann sind ist das I_n+-te Intervall wie folgt definiert: I_n+ a_n+b_n+ cases I_nquad textfalls x_n+ notin I_n leftb_n-fracb_n-a_nb_nrightquad textfalls x_n+ in lefta_n a_n+fracb_n-a_nright lefta_n a_n+fracb_n-a_nrightquadtextfalls x_n+ in a_n+fracb_n-a_nb_n. cases Das heisst per Konstruktion gilt I_n+subseteq I_n und x_n+ notin I_n+ erfüllt. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip ist der Durchschnitt bigcap_n^infty I_n subseteq nicht-leer sagen wir xin I. Dann ist x neq x_n für alle n in mathbbN da x_n notin I_n nach Konstruktion von I_n und x in I subseteq I_n. Somit hat Spieler mathcalA ein neues Element von gefunden was von Spieler mathcalB nicht aufgelistet wurde das Intervall ist also überabzählbar und somit auch mathbbR. Formal gesehen zeigt obiges Argument dass eine beliebige Abbildung mathbbN rightarrow nicht surjektiv sein kann.
Zeigen sie dass mathbbR überabzählbar ist.
Solution:
Beweis. Am besten beweist man diese Identität indem man die Teilmenge subseteq mathbbR verwet denn wenn schon diese Teilmenge von mathbbR überabzählbar ist so muss es auch mathbbR selbst sein. Um das Ganze etwas anschaulicher zu gestalten kann man sich das ganze als eine Art Spiel vorstellen. Demnach hat man zwei Spieler mathcalAB wobei mathcalB der Meinung ist dass mathbbR abzählbar ist. Das Ziel dieses Spielers ist es demnach alle Elemente von subseteq mathbbR aufzuzählen. Im Gegenzug darf Spieler mathcalA nach jedem Zug von mathcalB das Intervall verkleinern. Sei also n in mathbbN mapsto x_n in eine beliebige Funktion welche die Züge von Spieler mathcalB beschreibt. Im Folgen wird die Strategie von Spieler mathcalA wie man am besten rekursiv Intervalle I_n a_nb_n definiert so dass das gewählte x_n notin I_n gilt. Für n gilt: I_ a_nb_n cases leftfracrightquad textfalls x_ in left fracright leftfracrightquadtextfalls x_ in frac. cases So kann man sicher stellen dass x_ nicht in I_ liegt. Anschaulicher: Falls x_ in rechter Hälfte ist nimmt man Intervall des unteren Drittels liegt x_ in linker Hälfte nimmt man umgekehrt Intervall des oberen Drittels. Angenommen Spieler mathcalA hat nun schon die Intervalle bis n so definiert und Spieler mathcalB macht nun den n+ Zug. Dann sind ist das I_n+-te Intervall wie folgt definiert: I_n+ a_n+b_n+ cases I_nquad textfalls x_n+ notin I_n leftb_n-fracb_n-a_nb_nrightquad textfalls x_n+ in lefta_n a_n+fracb_n-a_nright lefta_n a_n+fracb_n-a_nrightquadtextfalls x_n+ in a_n+fracb_n-a_nb_n. cases Das heisst per Konstruktion gilt I_n+subseteq I_n und x_n+ notin I_n+ erfüllt. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip ist der Durchschnitt bigcap_n^infty I_n subseteq nicht-leer sagen wir xin I. Dann ist x neq x_n für alle n in mathbbN da x_n notin I_n nach Konstruktion von I_n und x in I subseteq I_n. Somit hat Spieler mathcalA ein neues Element von gefunden was von Spieler mathcalB nicht aufgelistet wurde das Intervall ist also überabzählbar und somit auch mathbbR. Formal gesehen zeigt obiges Argument dass eine beliebige Abbildung mathbbN rightarrow nicht surjektiv sein kann.
Meta Information
Exercise:
Zeigen sie dass mathbbR überabzählbar ist.
Solution:
Beweis. Am besten beweist man diese Identität indem man die Teilmenge subseteq mathbbR verwet denn wenn schon diese Teilmenge von mathbbR überabzählbar ist so muss es auch mathbbR selbst sein. Um das Ganze etwas anschaulicher zu gestalten kann man sich das ganze als eine Art Spiel vorstellen. Demnach hat man zwei Spieler mathcalAB wobei mathcalB der Meinung ist dass mathbbR abzählbar ist. Das Ziel dieses Spielers ist es demnach alle Elemente von subseteq mathbbR aufzuzählen. Im Gegenzug darf Spieler mathcalA nach jedem Zug von mathcalB das Intervall verkleinern. Sei also n in mathbbN mapsto x_n in eine beliebige Funktion welche die Züge von Spieler mathcalB beschreibt. Im Folgen wird die Strategie von Spieler mathcalA wie man am besten rekursiv Intervalle I_n a_nb_n definiert so dass das gewählte x_n notin I_n gilt. Für n gilt: I_ a_nb_n cases leftfracrightquad textfalls x_ in left fracright leftfracrightquadtextfalls x_ in frac. cases So kann man sicher stellen dass x_ nicht in I_ liegt. Anschaulicher: Falls x_ in rechter Hälfte ist nimmt man Intervall des unteren Drittels liegt x_ in linker Hälfte nimmt man umgekehrt Intervall des oberen Drittels. Angenommen Spieler mathcalA hat nun schon die Intervalle bis n so definiert und Spieler mathcalB macht nun den n+ Zug. Dann sind ist das I_n+-te Intervall wie folgt definiert: I_n+ a_n+b_n+ cases I_nquad textfalls x_n+ notin I_n leftb_n-fracb_n-a_nb_nrightquad textfalls x_n+ in lefta_n a_n+fracb_n-a_nright lefta_n a_n+fracb_n-a_nrightquadtextfalls x_n+ in a_n+fracb_n-a_nb_n. cases Das heisst per Konstruktion gilt I_n+subseteq I_n und x_n+ notin I_n+ erfüllt. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip ist der Durchschnitt bigcap_n^infty I_n subseteq nicht-leer sagen wir xin I. Dann ist x neq x_n für alle n in mathbbN da x_n notin I_n nach Konstruktion von I_n und x in I subseteq I_n. Somit hat Spieler mathcalA ein neues Element von gefunden was von Spieler mathcalB nicht aufgelistet wurde das Intervall ist also überabzählbar und somit auch mathbbR. Formal gesehen zeigt obiges Argument dass eine beliebige Abbildung mathbbN rightarrow nicht surjektiv sein kann.
Zeigen sie dass mathbbR überabzählbar ist.
Solution:
Beweis. Am besten beweist man diese Identität indem man die Teilmenge subseteq mathbbR verwet denn wenn schon diese Teilmenge von mathbbR überabzählbar ist so muss es auch mathbbR selbst sein. Um das Ganze etwas anschaulicher zu gestalten kann man sich das ganze als eine Art Spiel vorstellen. Demnach hat man zwei Spieler mathcalAB wobei mathcalB der Meinung ist dass mathbbR abzählbar ist. Das Ziel dieses Spielers ist es demnach alle Elemente von subseteq mathbbR aufzuzählen. Im Gegenzug darf Spieler mathcalA nach jedem Zug von mathcalB das Intervall verkleinern. Sei also n in mathbbN mapsto x_n in eine beliebige Funktion welche die Züge von Spieler mathcalB beschreibt. Im Folgen wird die Strategie von Spieler mathcalA wie man am besten rekursiv Intervalle I_n a_nb_n definiert so dass das gewählte x_n notin I_n gilt. Für n gilt: I_ a_nb_n cases leftfracrightquad textfalls x_ in left fracright leftfracrightquadtextfalls x_ in frac. cases So kann man sicher stellen dass x_ nicht in I_ liegt. Anschaulicher: Falls x_ in rechter Hälfte ist nimmt man Intervall des unteren Drittels liegt x_ in linker Hälfte nimmt man umgekehrt Intervall des oberen Drittels. Angenommen Spieler mathcalA hat nun schon die Intervalle bis n so definiert und Spieler mathcalB macht nun den n+ Zug. Dann sind ist das I_n+-te Intervall wie folgt definiert: I_n+ a_n+b_n+ cases I_nquad textfalls x_n+ notin I_n leftb_n-fracb_n-a_nb_nrightquad textfalls x_n+ in lefta_n a_n+fracb_n-a_nright lefta_n a_n+fracb_n-a_nrightquadtextfalls x_n+ in a_n+fracb_n-a_nb_n. cases Das heisst per Konstruktion gilt I_n+subseteq I_n und x_n+ notin I_n+ erfüllt. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip ist der Durchschnitt bigcap_n^infty I_n subseteq nicht-leer sagen wir xin I. Dann ist x neq x_n für alle n in mathbbN da x_n notin I_n nach Konstruktion von I_n und x in I subseteq I_n. Somit hat Spieler mathcalA ein neues Element von gefunden was von Spieler mathcalB nicht aufgelistet wurde das Intervall ist also überabzählbar und somit auch mathbbR. Formal gesehen zeigt obiges Argument dass eine beliebige Abbildung mathbbN rightarrow nicht surjektiv sein kann.
Contained in these collections: