Schwerpunkt
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Exercise:
Bestimmen Sie den Schwerpunkt x_S y_S der folgen Konstruktion vgl. Abb. wobei der Körper keine konstante Dichte rho hat. Die Dichten der einzelnen Teilstücke stehen neben der Abbildung. Tipp: Die Querschnittsfläche alle Teilstücke ist gleich. Die Höhe resp. Breite der Streben kann vernachlässigt werden. center tikzpicturescale. % Querbalcken rho_ draw rectangle .; draw rectangle .; draw rectangle .; % . Verbindungen draw fillgray! . rectangle .; draw fillgray! . rectangle .; % . Verbindungen draw fillblack . rectangle .; draw fillblack . rectangle .; % Dichten draw rectangle node above rho_.; draw fillgray! . rectangle node above rho_..; draw fillblack rectangle node above rho_.; % Strecken angaben draw - -.. --node left fracl -..; draw - -.. --node left fracl -..; draw - .. --node above l ..; % Hilfslinien draw dashed . -- -.; draw dashed . -- -.; draw dashed . -- -.; draw dashed .. -- .; draw dashed .. -- .; tikzpicture center
Solution:
Die x Koordinate ist trivial da die Konstruktion symmetrisch ist folgt: x_S tfracl. Für die y Koordinate gilt: y_S fracM _i^ y_im_i. Die Gesamtmasse M ist: M lrho_ + tfraclrho_ + tfraclrho_ lrho_+rho_+rho_. Betrachten wir zuerst die Dichten rho_ dann sehen wir dass für den untersten y_ ist und damit bleibt: y_ m_+y_ m_ fracl lrho_ + l lrho_ fracl^rho_. Für die zweite Dichte rho_ gilt: y_ m_+y_ m_ left fracl fraclrho_rightfracl^rho_. Für die dritte Dichte rho_ gilt: y_ m_+y_ m_ left fracl fraclrho_rightfracl^rho_. Damit erhalten wir für die Summe: y_S fraclrho_+rho_+rho_ leftfracl^rho_ + fracl^rho_ + fracl^rho_right. Vereinfacht erhalten wir: y_S fracrho_+rho_+rho_rho_+rho_+rho_l.
Bestimmen Sie den Schwerpunkt x_S y_S der folgen Konstruktion vgl. Abb. wobei der Körper keine konstante Dichte rho hat. Die Dichten der einzelnen Teilstücke stehen neben der Abbildung. Tipp: Die Querschnittsfläche alle Teilstücke ist gleich. Die Höhe resp. Breite der Streben kann vernachlässigt werden. center tikzpicturescale. % Querbalcken rho_ draw rectangle .; draw rectangle .; draw rectangle .; % . Verbindungen draw fillgray! . rectangle .; draw fillgray! . rectangle .; % . Verbindungen draw fillblack . rectangle .; draw fillblack . rectangle .; % Dichten draw rectangle node above rho_.; draw fillgray! . rectangle node above rho_..; draw fillblack rectangle node above rho_.; % Strecken angaben draw - -.. --node left fracl -..; draw - -.. --node left fracl -..; draw - .. --node above l ..; % Hilfslinien draw dashed . -- -.; draw dashed . -- -.; draw dashed . -- -.; draw dashed .. -- .; draw dashed .. -- .; tikzpicture center
Solution:
Die x Koordinate ist trivial da die Konstruktion symmetrisch ist folgt: x_S tfracl. Für die y Koordinate gilt: y_S fracM _i^ y_im_i. Die Gesamtmasse M ist: M lrho_ + tfraclrho_ + tfraclrho_ lrho_+rho_+rho_. Betrachten wir zuerst die Dichten rho_ dann sehen wir dass für den untersten y_ ist und damit bleibt: y_ m_+y_ m_ fracl lrho_ + l lrho_ fracl^rho_. Für die zweite Dichte rho_ gilt: y_ m_+y_ m_ left fracl fraclrho_rightfracl^rho_. Für die dritte Dichte rho_ gilt: y_ m_+y_ m_ left fracl fraclrho_rightfracl^rho_. Damit erhalten wir für die Summe: y_S fraclrho_+rho_+rho_ leftfracl^rho_ + fracl^rho_ + fracl^rho_right. Vereinfacht erhalten wir: y_S fracrho_+rho_+rho_rho_+rho_+rho_l.