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https://texercises.com/exercise/grenzwert-6/
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Exercise:
Die Funktion f: rightarrow mathbbR sei gleichmässig stetig auf . Man beweise dass der Grenzwert displaystylelim_xrightarrow + fx existiert.

Solution:
Zu zeigen ist eigentlich: forall Folgen x_n mit x_n und lim x_n : displaystylelim_nrightarrowinfty fx_n existiert und er hängt nicht von der Auswahl der Folge ab. compactitem item Sei leftfx_nright_ninmathbbN eine Cauchy-Folge. Sei weiter varepsilon . Dann exists delta so dass aus |x-x'|delta folgt |fx-fx'|varepsilon wegen der gleichmässigen Stetigkeit. Da weiter x_nrightarrow Rightarrow exists n_:forall n n_ gilt x_ndelta. Also ist forall pnge n_: |x_n+p-x_n|delta und damit |fx_n+p-fx_nright|varepsilon. item Seien nun x_nrightarrow &quad x_nquadmboxund y_nrightarrow &quad y_n mit displaystylelim_nrightarrowinftyfx_n neq lim_nrightarrowinftyfy_n. Dann exists leftfz_nright_ninmathbbN mit z_nx_n z_n+y_n divergent da HP. Somit ist der Grenzwert unabhängig von der Wahl der Folge. compactitem
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\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Die Funktion f: rightarrow mathbbR sei gleichmässig stetig auf . Man beweise dass der Grenzwert displaystylelim_xrightarrow + fx existiert.

Solution:
Zu zeigen ist eigentlich: forall Folgen x_n mit x_n und lim x_n : displaystylelim_nrightarrowinfty fx_n existiert und er hängt nicht von der Auswahl der Folge ab. compactitem item Sei leftfx_nright_ninmathbbN eine Cauchy-Folge. Sei weiter varepsilon . Dann exists delta so dass aus |x-x'|delta folgt |fx-fx'|varepsilon wegen der gleichmässigen Stetigkeit. Da weiter x_nrightarrow Rightarrow exists n_:forall n n_ gilt x_ndelta. Also ist forall pnge n_: |x_n+p-x_n|delta und damit |fx_n+p-fx_nright|varepsilon. item Seien nun x_nrightarrow &quad x_nquadmboxund y_nrightarrow &quad y_n mit displaystylelim_nrightarrowinftyfx_n neq lim_nrightarrowinftyfy_n. Dann exists leftfz_nright_ninmathbbN mit z_nx_n z_n+y_n divergent da HP. Somit ist der Grenzwert unabhängig von der Wahl der Folge. compactitem
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, cauchy, cauchy-folge, gleichmässig, grenzwert, limes, mathematik, stetig
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Difficulty
(6, default)
Points
4 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator uz
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