Exercise

Bei dem unten abgebildeten Billard-Stoss steht die Richtung des einlaufen Spielballs senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden angespielten Objektbälle, die sich berühren. Die einlaufe Kugel treffe diese beiden Kugeln gleichzeitig. Berücksichtige die Symmetrie des Problems, sowie die Prinzipien der Energie- und Impulserhaltung und bestimme die Endgeschwindigkeiten der drei Kugeln. center tikzpicture[scale.] BillardSpielball,.; Billardkugel,..green!!black; Billardkugel,-..blue; draw[dashed] .,--,; draw[colorgreen!!black,->,>latex] .,--.,; tikzpicture center
Wir bezeichnen die chwindigkeit des weissen Balls vor nach dem Stoss mit vec v vec v' und den Impuls mit vec p vec p'. Die chwindigkeiten der Objektbälle nach dem Stoss bezeichnen wir mit vec w'_ und vec w'_, die Impulse entsprech mit vec q'_ und vec q'_. Die Auslaufwinkel der Objektbälle seien alpha_ und alpha_. Aus der Energie- und der Impulserhaltung folgen die Gleichungen minipage[c].textwidth al ptot &mustbe ptot' vec p vec p' + vec q_' + vec q_' mmqtyv_xv_y mmqtyv_x'v_y' + mmqtyw_,x'w_,y' +mmqtyw_,x'w_,y' mqtyv mqtyv' + mqtyw_'cosalpha_w_'sinalpha_ + mqtyw_'cosalpha_w_'sinalpha_ minipage minipage[c].textwidth al Etot &mustbe Etot Ekin Ekin fracmv^ fracmv'^ + frac mw_'^ + frac mw_'^ v^ v'^ + w_'^ + w_'^. minipage Aus Symmetriegründen müssen die chwindigkeitsbeträge der Objektbälle gleich gross sein, wir nennen sie also neu w' w_' w_'. Ausserdem müssen die Richtungen der Objektbälle mit der x-Achse den gleich grossen Winkel einschliessen, deshalb können wir auch alpha alpha_ -alpha_ schreiben. Bei der Berührung bilden die Mittelpunkte der drei Bälle ein gleichseitiges Dreieck. center tikzpicture[scale.] BillardSpielball.,.; Billardkugel,..green!!black; Billardkugel,-..blue; draw[dashed] ,--,; draw[dashed] -.,--,; draw[thick, colorred] .,--,.--,-.--.,; tikzpicture center Deshalb ist alpha degree. Das liefert dann das folge Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten v' und w': v v' + w'cosalpha labelimp v^ v'^ + w'^. labelen Aus Erfahrung wissen wir, dass Umstellen und Quadrieren von eqrefimp helfen kann: al qtyv-w'cosalpha^ v'^. Das subtrahieren wir jetzt von eqrefen und lösen nach w' auf al vw'cosalpha - w'^cos^alpha w'^ vcosalpha - w'cos^alpha w' vcosalpha w'+cos^alpha w' fracvcosalpha+cos^alpha. Setzen wir das Ergebnis in eqrefimp ein, können wir nach v' auflösen: al v v' + cdot fracvcosalpha+cos^alpha cdot cosalpha v' + fracvcos^alpha+cos^alpha v' fracv + vcos^alpha - vcos^alpha+cos^alpha fracv-cos^alpha+cos^alpha.
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Metadata

Tags billard, elastischer stoss, geometrie, gleichungen, impuls, mechanik, physik, stoss, unbekannte, winkelfunktionen
Default Difficulty
Default points 6
Language GER
Type Calculative / Quantity