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https://texercises.com/exercise/beweis-dichtheit-von-q-in-r/
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Exercise:
abcliste abc Was bedeutet die Aussage dass mathbbQ dicht ist in mathbbR? abc Beweisen Sie. abcliste

Solution:
abcliste abc Zwischen je zwei reellen Zahlen ab in mathbbR mit a b gibt es ein r in mathbbQ mit a r b. abc Beweis. Nach dem Archimedischen Prinzip Satz . existiert ein m in mathbbN mit fracm b-a. Ebenso gibt es nach dem Archimedischen Prinzip ein n in mathbbZ mit n- leq ma n oder äquivalenterweise fracn-m leq a fracnm. Insbesondere gilt fracnm leq a+fracm was mit fracm b-a gerade a fracnm leq a+fracm a+b-a b und damit das Korollar impliziert wobei r fracnm gewählt wird. Anders formuliert zeigt obiges Korollar dass mathbbQ jede Umgebung I einer reellen Zahl schneidet das heisst I cap mathbbQ neq emptyset oder auch dass man jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren können. abcliste
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abcliste abc Was bedeutet die Aussage dass mathbbQ dicht ist in mathbbR? abc Beweisen Sie. abcliste

Solution:
abcliste abc Zwischen je zwei reellen Zahlen ab in mathbbR mit a b gibt es ein r in mathbbQ mit a r b. abc Beweis. Nach dem Archimedischen Prinzip Satz . existiert ein m in mathbbN mit fracm b-a. Ebenso gibt es nach dem Archimedischen Prinzip ein n in mathbbZ mit n- leq ma n oder äquivalenterweise fracn-m leq a fracnm. Insbesondere gilt fracnm leq a+fracm was mit fracm b-a gerade a fracnm leq a+fracm a+b-a b und damit das Korollar impliziert wobei r fracnm gewählt wird. Anders formuliert zeigt obiges Korollar dass mathbbQ jede Umgebung I einer reellen Zahl schneidet das heisst I cap mathbbQ neq emptyset oder auch dass man jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren können. abcliste
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Attributes & Decorations
Tags
analysis i, archimedisches prinzip, beweis, dicht, eth, hs22, irrational, proof, rational
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
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