Exercise:
Eine kleine Kugel der Masse m sei an vier Federn im Ursprung xy befestigt. Die Federkonstanten der Federn in x-Richtung seien D jene der Federn in y-Richtung d. center tikzpicturescale. % Masse shadedraw shadingball ball colorblue! drawnone .+. circle .cm; % Feder Horizontal draw thick -.. -- ++ -.; draw thick -. -- ; draw thickdecoratedecorationcoilsegment length.cmamplitude.cmaspect.drawblack -- node above fns D .; draw thick .+. -- ++ .; draw thickdecoratedecorationcoilsegment length.cmamplitude.cmaspect.drawblack .+.+. -- node above fns D ++ .; draw thick +.+.. -- ++ -.; % Feder Vertikal scope rotate around:.+. draw thickdarkgray -.. -- ++ -.; draw thickdarkgray -. -- ; draw thickdecoratedecorationcoilsegment length.cmamplitude.cmaspect.drawdarkgray -- node right fns d .; draw thickdarkgray .+. -- ++ .; draw thickdecoratedecorationcoilsegment length.cmamplitude.cmaspect.drawdarkgray .+.+. -- node right fns d ++ .; draw thickdarkgray +.+.. -- ++ -.; scope tikzpicture center Hinweis: Die Massen der Federn sind zu vernachlässigen und die Bewegungen der Kugel in x- und y-Richtung können bei kleinen Auslenkungen als unabhängig angenommen werden. Das System sei horizontal gelagert d.h. vernachlässigen Sie die Gravitationskraft. enumerate item Wie lauten die Bewegungsgleichungen in x- und y-Richtung für die Kugel? Pkt. item Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen omega_x und omega_y wobei der Index die Richtung der Schwingung angibt. Pkt. item Zeigen Sie dass die allgemeine Lösung xt Asinomega_xt + Bcosomega_xt die Bewegungsgleichung in x-Richtung löst. Pkt. item Die Kugel wird nun nach xy x_ ausgelenkt und mit der Geschwindigkeit v_ in der +y-Richtung angestossen. Wie lauten die Lösungen der Bewegungsgleichungen für diese Anfangsbedingungen? Pkt. item Wie lauten die Bedingungen für die beiden Federkonstanten D und d sowie für die Geschwindigkeit v_ damit sich die Kugel auf einer Kreisbahn bewegt? Die Kreisgleichung lautet: r^ x^ + y^. Pkt. enumerate

Solution:
enumerate item Die Bewegungsgleichung lautet: F_Res -F_F^ - F_F^ ma Für die x-Richtung gilt F_F^ F_F^ Dx und daraus folgt: -Dx mddotx. qquadtext/ Pkt. Analog für die y-Richtung: -dy mddoty. qquadtext/ Pkt. item Aus der Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung ddoty - omega_^y folgt: omega_x sqrtfracDmquad textund quad omega_y sqrtfracdm. qquadtext Pkt. item Die Bewegungsgleichung in x-Richtung lautet ddotx - omega_x^x. Es gilt: eqnarray* xt & Asinomega_xt + Bcosomega_xt dotxt & omega_x Acosomega_xt - omega_xBsinomega_xt ddotxt & -omega^_x Asinomega_xt - omega^_xBcosomega_xt -omega_x^ xt qquadtext Pkt.. eqnarray* item Als Ansatz für die y-Bewegung nehmen wir yt Csinomega_yt + Dcosomega_yt an. Aus den Anfangsbedingungen für xy x_ findet wir: xt x_ B quad textund quad yt D. qquadtext Pkt. Für dotxdoty v_ erhalten wir: dotxt omega_xA omega_x ne Rightarrow A qquadtext/ Pkt. und dotyt v_ omega_yC Rightarrow C v_/omega_y. qquadtext/ Pkt. Somit erhalten wir: xt x_cosomega_xt quad textund quad yt v_/omega_ysinomega_yt. item Setzen wir die gefundenen Lösungen bei t in die Kreisgleichung ein erhalten wir: r^ xt^ + yt^ quad textfür quad t Rightarrow y x x_Rightarrow r^ x_^. qquadtext Pkt. Nun setzen wir die Lösungen ein und erhalten: eqnarray* x_^ & x_^cos^omega_xt + fracv_^omega_y^sin^omega_yt x_^ - cos^omega_xt & fracv_^omega_y^sin^omega_yt x_^ sin^omega_xt & fracv_^omega_y^sin^omega_yt. qquadtext Pkt. eqnarray* Umgeformt erhalten wir: fracx_^omega_y^v_^ fracsin^omega_ytsin^omega_xt wobei für die linke Seite folges gilt: fracx_^omega_y^v_^ textkonstant.qquadtext Pkt. Somit gilt: textkonst. fracsin^omega_ytsin^omega_xt damit dies für alle Zeiten t gelten kann muss omega_x omega_y Rightarrow D dqquadtext Pkt. sein und konst.. Damit erhalten wir als zweite Bedingung: v_ x_omega_y.qquadtext Pkt. enumerate